Leyes de Kirchhoff y método de mallas. Resolución de circuitos eléctricos

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Se dice que un circuito teórico está resuelto cuando se ha calculado el voltaje y la corriente que circulará por cada uno de los elementos del circuito. Para poder conocer estas magnitudes se utilizan las denominadas leyes de Kirchhoff.

1º Ley de Kirchhoff – Ley de Kirchhoff de la corriente

En primer lugar definimos lo que es un nodo como un punto donde se unen más de dos conductores o ramas del circuito.

nodo

Pues bien la 1º ley de Kirchhoff dice que en cualquier nodo de un circuito, la suma de corriente es igual a 0.

I1 + I2 + I3 + ….In = 0

Para aplicar esta ley, debe asignarse a cada corriente del nodo un signo según una dirección de referencia, si sale del nodo la corriente es positiva y si entra al nodo la corriente es negativa.

2º Ley de Kirchhoff – Ley de Kirchhoff del voltaje

Una malla o lazo, es cualquier camino cerrado en un circuito eléctrico.

lazo

Pues bien, la segunda ley de Kirchhoff nos dice que la suma algebraica alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es igual a 0.

V1 + V2 + V3 + … Vn = 0

Para emplear la ley del voltaje, debemos asignar un signo a cada voltaje en el lazo, en función de la dirección de referencia. Si la corriente va de más a menos, el voltaje será positivo, si va de menos a más, la tensión será negativa.

Resolución de circuitos eléctricos

Método de voltaje de nodos

A continuación voy a explicaros cómo resolver circuitos eléctricos utilizando el método de nodos esenciales. Para aplicar este método, debemos seguir los siguientes pasos:

1.- Marcamos los nodos esenciales del circuito.

2.- Seleccionamos uno de estos nodos como nodo de referencia (tierra, 0 voltios).

3.- Definimos los voltajes de nodos en el diagrama del circuito. El voltaje de nodo se define como un incremento de voltaje desde el nodo de referencia a un nodo cualquiera.

4.- Dibujamos corrientes saliendo de cada nodo por cada una de las ramas que confluyen en él.

5.- Escribimos el valor de cada una de las corrientes aplicando la siguiente ecuación:

I = (Vnodo de salida – Vnodo de llegada ±Vfuentes atravesadas) / Σ R de la rama

“Cuando tengamos fuentes de tensión en una rama, anteponemos el signo + si salimos por el terminal + y – si salimos por el terminal -”

6.- Aplicamos la primera ley de Kirchhoff a cada nodo.

Casos especiales

Fuentes dependientes

Si el circuito tiene fuentes dependientes, las ecuaciones de nodo deben complementarse con las ecuaciones necesarias para expresar las restricciones impuestas por las fuentes dependientes.

Ramas con fuentes de voltaje como único elemento

En este caso se ha de proceder de los pasos 1 a 6, pero en los nodos entre los que está conectada la fuente de voltaje se ha de proceder de la siguiente forma:

  • La corriente que circula por la rama en la que está la fuente de tensión se dejará como incógnita.
  • La diferencia de voltaje entre los nodos será conocida.
  • En general, suele interesar que el nodo de referencia (tierra, 0 voltios) sea uno de los nodos extremos de la fuente.

Ramas con fuente de corriente como único elemento

Cuando tengamos una fuente de corriente como único elemento en la rama, la corriente en esa rama no es una incógnita pero sí el voltaje de la rama.

Introducción al método de corriente de malla

Para resolver los circuitos por el método de malla, se ha de proceder de la siguiente forma:

1.- Determinar las mallas que tiene el circuito.

2.- Dibujar corrientes de malla en sentido horario en cada una de las mallas.

3.- Escribir un sistema de matrices de la siguiente forma

matrices

En la matriz de voltajes, debemos escribir la suma de los voltajes de las fuentes que tenemos en cada malla anteponiendo el signo + o – por el que salgamos al movernos en sentido horario.

En la matriz de resistencia, los elementos de la diagonal principal son la suma de las resistencias de cada una de las mallas. Así, R11 será la suma de las resistencias de la malla 1, R22 será la suma de las resistencias de la malla 2, etc. Los demás elementos son la suma de las resistencias frontera entre dos mallas cambiadas de signo. Así R12 será la suma entre las resistencias comunes a las mallas 1 y 2 cambiadas de signo.

Los elementos de la matriz de corrientes son las corrientes de malla.

Casos especiales

Fuentes dependientes

Si el circuito tiene fuentes dependientes, las ecuaciones de corriente de mallas deben complementarse con las ecuaciones necesarias para expresar las restricciones impuestas por las fuentes dependientes.

Ramas con fuentes de corriente

Cuando una rama contiene una fuente de corriente, conoceremos el valor de la corriente de malla si ésta es la única corriente que circula por la rama, o bien, la diferencia entre dos corrientes de malla. Sin embargo, aparecerá como incógnita el voltaje en bornes de la fuente de corriente en la matriz de voltajes.

Ejercicios

Este post junto con Introducción a la teoría de circuitos I e Introducción a la teoría de circuitos II forman la base para poder entender los fundamentos que rigen la teoría de circuitos y poder empezar a resolver circuitos.

Como ejemplo os planteo el siguiente ejercicio:

1º.- Determinar i0 e ig en el circuito de la figura:

a) Resolviendo por el método de voltajes de nodo.

b) Resolviendo por el método de corriente de malla.

c) Resolver el circuito resultante si eliminásemos la resistencia de 2Ω.

malla1

a) Resolviendo por el método de voltajes de nodo.
1.- Marcamos los nodos esenciales del circuito.
2.- Seleccionamos uno de estos nodos como nodo de referencia (tierra, 0 voltios).
3.- Definimos los voltajes de nodos en el diagrama del circuito. El voltaje de nodo se define como un incremento de voltaje desde el nodo de referencia a un nodo cualquiera.
4.- Dibujamos corrientes saliendo de cada nodo por cada una de las ramas que confluyen en él.

 

mallaza

5.- Escribimos el valor de cada una de las corrientes aplicando la siguiente ecuación:

I = (Vnodo de salida – Vnodo de llegada ±Vfuentes atravesadas) / Sumatorio de las resistencias de la rama

 

“Cuando tengamos fuentes de tensión en una rama, anteponemos el signo + si salimos por el terminal + y – si salimos por el terminal -”

 

I1 = (V1 – 0 – 125) / 2 = -ig

I2 = (V1 – V2) / 6

I3 = (V1 – 0) / (15 + 12 + 13)

I4 = (V2 – V1) / 6 = -I2

I5 = (V2 – 0) / 20 = I0

I6 = (V2 – 0) / 5

 

6.- Aplicamos la ley primera ley de Kirchhoff a cada nodo.

V1) I1 + I2 + I3 = 0

V2) I4 + I5 + I6 = 0

 

Resolvemos el problema, que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

(V1 – 125) /2 + (V1-V2)/6 + V1/40 = 0

(V2 – V1)/6 + V2/20 + V2/5 = 0

V2 = 40 V

V1 = 100V

I1 = -12,5 A / Ig = 12,5 A

I5 = I0 = 2 A

 

b) Resolviendo por el método de corriente de malla.

malla

determinante

R11 = 2 + 6 + 5; R22 = 6 + 15 + 12 +13 + 20; R33 = 20 + 5

R12 = – 6 = R21

R13 = -5 = R31

R23 = -20 = R32

 

Calculando los determinantes nos queda que:

I1 = 12,5 A

I2 = 2,5 A

I3 = 4,5 A

I0 = I3 – I2= 4,5 – 2,5 = 2 A

Ig = I1 =12,5 A

 

c) Resolver el circuito resultante si eliminásemos la resistencia de 2Ω.

Si quitásemos la resistencia de 2 Ω pasaría esto:

I1 = (V1 – 0 -125)/0 —–> No se podría sacar, por lo que hacemos es despejar 0, o sea:

V1 – 0 = 125, V1 = 125 V

I2 = (V1 – V2) / 6

I3 = (V1 – 0) / (15 + 12 + 13)

I4 = (V2 – V1) / 6 = -I2

I5 = (V2 – 0) / 20 = I0

I6 = (V2 – 0) / 5

 

6.- Aplicamos la ley primera ley de Kirchhoff a cada nodo.

V1) I1 + I2 + I3 = 0

V2) I4 + I5 + I6 = 0

 

Resolvemos el problema, que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

I1 + (125-V2)/6 + 125/40 = 0

(V2-125)/6 + V2/20 + V2/5 = 0; V2 = 50 V

I1 = -15,62 A = -Ig

I5 = I0 = 2,5 A

 

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3 comentarios sobre “Leyes de Kirchhoff y método de mallas. Resolución de circuitos eléctricos

    Roger Rondon escribió:
    16 junio, 2016 en 00:55

    buen trabajo didáctico……

    dante gomez escribió:
    17 agosto, 2016 en 00:03

    excelente explicación!!

    eduardo escribió:
    29 agosto, 2016 en 18:56

    Excelente gracias por el aporte!

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