Teoría de mecanismos. Grados de libertad

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En esta entrada vamos a explicar la manera de calcular los grados de libertad, permitiendo evaluar si estamos tratando con una estructura o mecanismo en función de los resultados obtenidos.

Para comenzar, debemos entender algunos conceptos relacionados con los mecanismos:

  • Una pieza es cada una de las partes indivisibles que componen un mecanismo
  • Un miembro es un conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, no existiendo movimiento entre ellas. Los podemos clasificar en:
    • Miembros conductores
    • Miembros conducidos
    • Bastidores
  • Denominamos par al conjunto formado por dos o más miembros de un mecanismo que están en contacto y tienen movimiento relativo entre ellos. Ejemplos de pares son el pistón-biela, biela-cigüeñal, cigüeñal-bastidor, bastidor-pistón…
  • Una cadena cinemática es la agrupación de varios pares elementales, de manera que todos los miembros formen parte de dos pares simultáneamente. La cadena cinemática más sencilla consta sólo de dos miembros, por ejemplo, la cadena formada por un tornillo y su tuerca.

Dicho esto, un mecanismo es una cadena cinemática a la que se le ha inmovilizado uno de sus miembros. A ese miembro fijo le denominamos bastidor.

Podemos clasificar los mecanismos de la siguiente manera:

  • En función de la movilidad de sus miembros
    • Desmodrómicos o de movilidad determinada
    • No desmodrómicos o de movilidad indeterminada
  • En función del tipo de movimiento de sus miembros
    • Planos
    • Espaciales

Los grados de libertad son el número de parámetros necesarios para definir su configuración geométrica, es decir, la posición en cada instante de todos sus miembros.

Para su cálculo empleamos la fórmula de Grübler:

                                  grübler
Donde:

G= grados de libertad
N= número de miembros del mecanismo
PI= número de pares binarios de un grado de libertad
PII= número de pares binarios de dos grados de libertad

Esta ecuación es muy importante, ya que nos permite determinar si nos encontramos ante un mecanismo o una estructura, y además nos indica el tipo de mecanismo o estructura.

Tendremos los siguientes casos:

  • G=1, mecanismo desmodrómico
  • G=2, mecanismo no desmodrómico
  • G=0, estructura estáticamente determinada (isostática)
  • G=-1, estructura estáticamente indeterminada (hiperestática)

A continuación vamos a realizar algunos ejemplos básicos de aplicación de la ecuación de Grübler:

Caso 1

caso1

En este caso es bastante fácil deducir que se trata de una estructura, sin embargo vamos a aplicar la ecuación de Grübler para demostralo:

N=3, ya que el elemento consta de tres miembros
Para calcular PI debemos contar el número de pares binarios de un grado de libertad. En este caso tendríamos el formado por las barras 1-2, las barras 1-3 y las barras 2-3, por lo tanto PI= 3

PII=0, ya que no existen pares binarios de dos grados de libertad

Aplicamos la ecuación:

G= 3*(3-1)-2*3-0=0

G=0, estructura isostática

Caso 2

caso2

Este segundo caso también se trata de una estructura como ahora comprobaremos

N=6, ya que tenemos 6 miembros

Para calcular PI tendremos los pares 1-5, 1-6, 2-5, 2-6, 3-5, 3-6, 4-5, 4-6,  por lo tanto: PI=8

G= 3*(6-1)-2*8-0=-1

G=-1, estructura hiperestática

Caso 3

caso3

N=4, tenemos 4 miembros

PI estaría formado por los pares 1-2, 1-4, 2-3 y 3-4, por lo tanto PI=4

G= 3*(4-1)-2*4-0=1

G=1, mecanismo desmodrómico

Como hemos visto, la ecuación de Grübler es muy sencilla de aplicar y nos ofrece unos resultados rápidos. En los ejemplos realizados hemos sido capaces de definir el elemento como estructura o mecanismo y definir el tipo de elemento o estructura simplemente contando miembros y pares de la figura.

Bibliografía

Apuntes de mecánica y teoría de mecanismos

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