Mecanismos de engranajes (II): Relación de transmisión. Estudio cinemático de un tren de engranajes

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Anteriormente explicábamos algunos conceptos y definiciones fundamentales de los engranajes. En esta entrada vamos a centrarnos en el estudio cinemático en engranajes y trenes de engranajes.

En primer lugar vamos a explicar la ecuación fundamental a la hora del estudio cinemático de engranajes. Se trata de la ecuación de la velocidad o relación de transmisión.

Teniendo dos ruedas dentadas engranadas, la ecuación que relaciona las velocidad angulares con el radio es la siguiente:

                                i=ω2/ω1=R1/R2

Donde:

i=Relación de transmisión
ω1=Velocidad angular de la primera rueda
R1=Radio primitivo de la primera rueda
ω2=Velocidad angular de la segunda rueda
R2=Radio primitivo de la segunda rueda

Esta ecuación se puede expresar también en función del número de dientes (z) de la siguiente manera:

                                  i=ω2/ω1=Z1/Z2

Donde:

i=Relación de transmisión
Z1=Número de dientes de la primera rueda
Z2=Número de dientes de la segunda rueda

Por tanto, la relación de transmisión es igual a la inversa de la razón de dientes.

Estas ecuaciones son muy importantes para la resolución de problemas de este tipo de mecanismos. En función de las velocidades angulares de la ruedas podemos calcular la relación del número de dientes o radios y viceversa.

Por cierto, recordad que una vez conocida la velocidad angular de una rueda podemos calcular la velocidad lineal en un punto de la misma mediante:

                                   V=ω*R

Veamos un ejemplo:

Un motor gira a 2.500 rpm. transmitiendo el movimiento a un eje mediante un engranaje de un piñón de 35 dientes solidario al eje de giro del motor. Si queremos que el eje al que se transmite el movimiento gire a 486 rpm. Determina el número de dientes que ha de tener la rueda conducida

En primer lugar recopilamos todos los datos proporcionados por el enunciado:

ω1=2500 rpm (Es la velocidad angular del motor, por lo tanto la velocidad angular que transmite a la rueda conductora)
ω2=486 rpm
Z1=35
Z2=?

Nuestra incógnita es el número de dientes de la rueda conducida, por lo que empleamos la relación de transmisión en función del número de dientes:

                                                                            i=ω2/ω1=Z1/Z2
Despejando tenemos que:   

Z2=(Z1*ω1)/ω2=(35*2500rpm)/486rpm=180

Z2= 180 dientes

Un dato importante a destacar es que en dos ruedas engranadas, la velocidad lineal en el punto de engrane es la misma, por lo tanto, la velocidad lineal de la rueda 1 y la rueda 2 sería la misma y la podríamos calcular con la ecuación mencionada anteriormente conociendo el radio y velocidad angular de una de ellas.

Como hemos visto, la aplicación de la relación de transmisión es muy sencilla. Sin embargo, normalmente la transmisión de movimiento no se puede resolver solamente con dos ruedas dentadas engranadas. Es necesario unir varios pares de engranajes, constituyendo trenes de engranajes.

En todo tren de engranajes tenemos:

  • Ruedas conductoras: Reciben el movimiento por el árbol y lo transmiten por la periferia
  • Ruedas intermedias o parásitas: Reciben el movimiento por la periferia y lo transmiten también por la periferia
  • Ruedas conducidas: Reciben el movimiento por su periferia y lo transmiten por el árbol

Veamos como se calcula la relación de transmisión de un tren de engranajes:

tren engranajesComenzamos obteniedo las relaciones de transmisión dos a dos, entre cada par de ruedas engranadas:

  • Ruedas 1 y 2: ω2/ω1=Z1/Z2 (ec 1)
  • Ruedas 2 y 3: ω2=ω3 (ya que se encuentran situadas en el mismo árbol) (ec 2)
  • Ruedas 3 y 4: ω4/ω3=Z3/Z4 (ec 3)
  • Ruedas 4 y 5: ω4=ω5 (ec 4)
  • Ruedas 5 y 6: ω6/ω5=Z5/Z6 (ec 5)

A simple vista parece muy complicado, pero vamos a ver que pasa si vamos combinando ecuaciones:

  • Sustituimos ec 1 y ec 3 en ec 2:  (Z1/Z2)*ω1=ω4*(Z4/Z3)
  • Sustituimos la ecuación anterior y la ec 5 en ec6: (Z1*Z3/Z2*Z4)*ω1=ω6*(Z6/Z5)
  • Organizamos un poco la ecuación resultante relacionando las velocidades angulares de 1 y 6:

                                                              ω6/ω1=Z1*Z3*Z5 / Z2*Z4*Z6

Si escribimos esta ecuación de otra forma podemos deducir algo:

ω6/ω1=(Z1/Z2)*(Z3/Z4)*(Z5/Z6)=(i1-2)*(i3-4)*(i5-6)=itotal

La relación de transmisión total en un tren de engranajes es el producto de las relaciones de transmisión entre cada par de engranajes que constituyen dicho tren.

Pues bien, el diseño cinemático de un tren de engranajes consiste en determinar el número de ruedas que han de constituir el tren y el número de dientes de cada una para conseguir una transmisión dada.

Las fases para el cálculo de un tren de engranajes partiendo de una relación de velocidades dada es:

  1. Cálculo del número de ruedas. Considerando que la máxima relación de transmisión parcial es de 1/7 o 7/1
  2. Cálculo de las relaciones parciales de transmisión
  3. Fijación del número de dientes (entre 12 y 200)
  4. Realización del esquema del tren

Bibliografía:

Apuntes de Mecánica y Teoría de Mecanismos

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